Exemple
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =3x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}g\left(x\right)& =-4x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-\sqrt{}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}t(x)& =\mathrm{\pi \; x}\end{array}$$ Les quatre fonctions ci-dessus sont linéaires.

 Caractérisation

Calcul des images et des antécédents

. On peut facilement déterminer les images et les antécédents d’un nombre à partir de cette information.
Exemple
Soit $h$ la fonction linéaire de coefficient -2. Quelle est l’image de 5 ?
On en déduit que l’expression de la fonction $h$ est :
$$h\left(x\right)=-2x$$

Et par conséquent que l’image de 5 est égale à :
$$\begin{array}{cc}h\left(5\right)& =-2\times 5\\ & =-10\end{array}$$

L’image de 5 est -10.

Exemple
Soit $t$ la fonction linéaire de coefficient 3.

Quel est l’antécédent de -2 ?
On en déduit que l’expression de la fonction $t$ est :
$$h\left(x\right)=3x$$

Et par conséquent que l’antécédent de -2 est égal à :
$$\begin{array}{cc}& -2=3x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x=-\frac{\mathrm{2/}}{3}\end{array}$$ L’antécédent de -2 est $-\frac{\mathrm{2/}}{3}$

Détermination de la fonction

Exemple
Soit $h$ une fonction linéaire telle que l’image de 2 soit égale à 6.

Déterminer la fonction $h$.
On sait que $h$ est une fonction linéaire donc elle s’écrit sous la forme :
$$h\left(x\right)=ax$$

Nous savons également que :
$$h\left(2\right)=a\times 2=6$$

Nous pouvons par conséquent en déduire $a$ :
$$a=\frac{\mathrm{6/}}{2}=3$$

La fonction $h$ est donc une fonction linéaire de coefficient 3. On peut ainsi l’écrire de la façon suivante :
$$h\left(x\right)=3x$$

Représentation graphique

On place ainsi les points de coordonnées (-2 ; -4) (0 ; 0) et (3 ; 6), puis on trace la droite.

On vérifie bien qu’il s’agit d’une fonction linéaire : elle passe en effet par l’origine du repère.

Lorsqu’on prend n’importe quel point de cette droite et que l’on se déplace d’une unité vers la droite (flèche violette),

on doit systématiquement monter de deux unités (flèche verte) pour tomber sur un autre point de la droite donc le coefficient directeur est bien égal à 2.
(Si on était descendu, le coefficient serait négatif).

Fonction affine

Définition

Avec $a$ et $b$deux nombres connus et constants.

Exemple
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =-x+2\\ g\left(x\right)& =\frac{5}{7}x-\sqrt{3}\\ h\left(x\right)& =-\sqrt{2}x+\frac{1}{3}\\ t\left(x\right)& =\pi x-\pi \end{array}$$ Les quatre fonctions ci-dessus sont affines.

, la fonction est linéaire. En effet, une fonction linéaire est une fonction affine pour laquelle $b=0$.
– lorsque $a=0$, la fonction est constante. Tous les nombres ont la même image, égale à $b$

La fonction $h\left(x\right)=10$ est une fonction constante. Quel que soit $x$ elle vaut toujours 10.

 Caractérisation

Calcul des images et des antécédents

ainsi que par le nombre $b$.

On peut facilement déterminer les images et les antécédents d’un nombre à partir de ces informations.

Exemple
Soit $h$ la fonction affine telle que $a=6$ et $b=-2$. Quelle est l’image de 2 ?
On en déduit que l’expression de la fonction $h$ est :
$$h\left(x\right)=6x-2$$

Et par conséquent que l’image de 2 est égale à :
$$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =6\times 2-2\\ & =12-2\\ & =10\end{array}$$ L’image de 2 est 10.

Exemple
Soit $t$ la fonction affine telle que $a=-3$ et $b=6$.

Quelle est l’antécédent de 5 ?
On en déduit que l’expression de la fonction $t$ est :
$$t\left(x\right)=-3x+6$$

Et par conséquent que l’antécédent de 5 est égal à :
$$\begin{array}{cc}& 5=-3x+6\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& -1=-3x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 1=3x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x=\frac{\mathrm{1/}}{3}\end{array}$$

L’antécédent de 5 est $\frac{\mathrm{1/}}{3}$

2. Détermination de la fonction

étant donné qu’il y a deux inconnues.

Par suite, en utilisant un des couples, on détermine le paramètre $b$.

Exemple
Soit $h$ une fonction affine telle que l’image de 2 soit égale à 6

et l’image de 4 soit égale à 2.

Déterminer la fonction $h$.

On sait que $h$ est une fonction affine donc elle s’écrit sous la forme :
$$h\left(x\right)=ax+b$$

Nous savons également d’après l’énoncé que $h\left(2\right)=6$ et $h\left(4\right)=2$.

Nous pouvons calculer la valeur du coefficient directeur d’après la formule précédente :
$$\begin{array}{cc}a& =\frac{h\left(4\right)-h(2)/}{4-2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\frac{2-\mathrm{6/}}{4-2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\frac{-\mathrm{4/}}{2}\\ & =-2\end{array}$$

Le coefficient directeur $a$ de notre fonction affine est égal à -2.

Nous pouvons par conséquent réécrire $h$ de la façon suivante :

$$h\left(x\right)=-2x+b$$

Sachant par exemple que $h\left(2\right)=6$ (nous pouvons aussi prendre $h\left(4\right)=2$),

nous pouvons déterminer le coefficient $b$ :
$$\begin{array}{cc}& 6=-2\times 2+b\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 6=-4+b\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& b=10\end{array}$$ Le nombre $b$ vaut 10.

En conclusion :
$$h\left(x\right)=-2x+10$$

 Représentation graphique

le coefficient directeur et le paramètre $b$

La méthode de détermination graphique du coefficient directeur est identique à celle d’une fonction linéaire. Pour l’ordonnée à l’origine (paramètre $b$), il suffit de lire l’ordonnée du point qui a pour abscisse 0.
Exemple
Représenter la fonction suivante :
$$h\left(x\right)=-2x+2$$

Pour la représenter, on peut calculer quelques valeurs, renseignées dans le tableau suivant :

On place ainsi les points de coordonnées (-2 ; 6) (0 ; 2) et (3 ; -4), puis on trace la droite.

On vérifie bien qu’il s’agit d’une fonction affine :

sa représentation graphique est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine du repère.
Lorsqu’on prend n’importe quel point de cette droite et que l’on se déplace d’une unité vers la droite (flèche violette),

on doit systématiquement descendre de deux unités (flèche verte) pour tomber sur un autre point de la droite donc le coefficient directeur est bien égal à -2.
Pour l’ordonnée à l’origine (paramètre $b$), l’ordonnée du point qui a pour abscisse 0 est 2 (cadre bleu) donc on a bien $b=2$