$x$ est l’inconnue. Le membre de gauche est $2x+7$.

Le membre de droite est 3.

Résoudre cette inéquation consiste à répondre à la question suivante :

« Quelles sont toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $2x+7<3$ ? »

Par exemple, 4 n’est pas solution car 2 × 4 + 7 = 15 > 3.

Par contre, -5 est solution. En effet, 2 × (-5) + 7 = -3 < 3.

Il existe très souvent une infinité de solutions (cela marche ici pour tous les nombres strictement inférieurs à -2).

On utilise des inégalités pour exprimer l’ensemble des solutions.

II) Propriétés

A) Addition et soustraction

Exemple:
$$\begin{array}{cc}& 3x+7<2x-5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x+7+5<2x-5+5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x+12<2x\end{array}$$

Les solutions de l’inéquation $3x+12<2x$ sont identiques à celles de l’inéquation $3x+7<2x-5$.

Le fait d’ajouter 5 n’a pas changé le sens de l’inégalité.

Exemple
$$\begin{array}{cc}& 3x+7<2x-5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x+7-7<2x-5-7\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x<2x-12\end{array}$$

Les solutions de l’inéquation $3x<2x-12$ sont identiques à celles de l’inéquation $3x+7<2x-5$.

Le fait de retrancher 7 n’a pas changé le sens de l’inégalité.

B) Multiplication et division

Exemple
$$\begin{array}{cc}& \frac{\mathrm{1/}}{2}x+1<5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \left(\frac{\mathrm{1/}}{2}x+1\right)\times 2<5\times 2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x+2<10\end{array}$$

Les solutions de l’inéquation $x+2<10$ sont identiques à celles de l’inéquation $0.5x+1<5$.

Le fait de multiplier par 2 (nombre strictement positif) n’a pas changé le sens de l’inégalité.

Par exemple, on a bien 2 < 3 mais lorsqu’on multiplie les deux membres par -1, on a alors -2 > -3.

(Ceux qui en doutent peuvent placer -2 et -3 sur une droite graduée.)

Exemple
$$\begin{array}{cc}& 2-\frac{\mathrm{1/}}{3}x<-x+4\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \left(2-\frac{\mathrm{1/}}{3}x\right)\times (-3)>(-x+4)\times (-3)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& -6+x<3x-12\end{array}$$

Les solutions de l’inéquation $-6+x<3x-12$ sont identiques à celles de l’inéquation $2-\frac{1}{3}x<-x+4$.

Le fait de multiplier par -3 (nombre strictement négatif) a changé le sens de l’inégalité.

Exemple
$$\begin{array}{cc}& -x-7<2-x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \frac{-x-7}{-1}>\frac{2-x}{-1}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x+7>-1+x\end{array}$$

Les solutions de l’inéquation $x+7>-1+x$ sont identiques à celles de l’inéquation $-x-7<2-x$.

Le fait de diviser par -1 (nombre strictement négatif) a changé le sens de l’inégalité.

III) Représentation graphique des solutions

 

Exemple : Résoudre les inéquations suivantes puis représenter graphiquement leurs solutions sur une droite graduée :
1) $2x+4>3x-5$
2) $x+7\le 13$
3) $3x-4\ge 12$
4) $2x+3>15$

1) Résolution de l’inéquation $2x+4>3x-5$ puis représentation graphique des solutions :
$$\begin{array}{cc}& 2x+4>3x-5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 2x-3x+4>-5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 2x-3x>-5-4\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& -x>-9\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \frac{-\mathrm{x(}}{-\mathrm{1)}}<\frac{-\mathrm{9(}}{-\mathrm{1)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x<9\end{array}$$

Les solutions de cette inéquation sont les nombres strictement inférieurs à 9. 9 ne fait pas partie des solutions donc le crochet sera tourné vers l’extérieur de la zone verte.

2) Résolution de l’inéquation $x+7\le 13$ puis représentation graphique des solutions :
$$\begin{array}{cc}& x+7\le 13\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x\le 13-7\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x\le 6\end{array}$$

Les solutions de cette inéquation sont les nombres inférieurs ou égaux à 6.

6 fait partie des solutions donc le crochet sera tourné vers la zone verte.

3) Résolution de l’inéquation $3x-4\ge 12$ puis représentation graphique des solutions :
$$\begin{array}{cc}& 3x-4\ge 12\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x\ge 12+4\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 3x\ge 16\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x\ge \frac{\mathrm{16/}}{3}\end{array}$$

Les solutions de cette inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à $\frac{16}{3}$. $\frac{\mathrm{16/}}{3}$ fait partie des solutions donc le crochet sera tourné vers la zone verte.

4) Résolution de l’inéquation $2x+3>15$ puis représentation graphique des solutions :
$$\begin{array}{cc}& 2x+3>15\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 2x>15-3\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& 2x>12\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x>\frac{\mathrm{12/}}{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& x>6\end{array}$$