Introduction
Dans ce cours nous allons parler du PGCD, qui est le Plus Grand Diviseur Commun.
Mais qu’est-ce-que le PGCD ?
Comme son nom l’indique, c’est un diviseur. un diviseur commun,
mais commun à qui ?
Et bien tout simplement à deux autres nombres.
Par exemple 24 et 16 sont tous les deux divisibles par 2, donc 2 est un diviseur commun à 24 et 16.
Mais 24 et 16 sont également divisibles par 4, et par 8.
Le PGCD, c’est tout simplement le plus grand de tous ces diviseurs communs.
Nous verrons également le PPCM, qui signifie Plus Petit Commun Multiple, tu verras que c’est assez simple avec la méthode que nous expliquerons 
LISTE DES DIVISEURS
la première méthode pour calculer le PGCD de deux nombres est de faire la liste des diviseurs de chaque nombre.
On regarde ensuite ceux qui sont en commun, et on prend le plus grand parmi tous ces diviseurs communs.
Mais comment faire la liste de tous les diviseurs ?
Pour notre exemple avec 16 et 24, tu devrais obtenir :
16 : 1 – 2 – 4 – 8 – 16
24 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24
Les diviseurs communs sont 1 – 2 – 4 – 8
Le plus grand est 8, donc le PGCD de 16 et 24 est 8 !
Cela se note :
DIVISION EUCLIDIENNE
On peut écrire la division euclidienne a = q × b + r, avec r < b (la condition r < b est très importante !!!).
Reprenons l’exemple de 90 et 125.
125 = 1 × 90 + 35 : b = 90 et r = 35, donc on fait la division de 90 par 35.
90 = 2 × 35 + 20 : b = 35 et r = 20, donc on fait la division de 35 par 20.
35 = 1 × 20 + 15
20 = 1 × 15 + 5
15 = 3 × 5 + 0
Ici le dernier reste non nul est 5, donc PGCD(90 ; 125) = 5.
Quand tu écris la division euclidienne, écris-la bien sous forme a = q × b + r et non a = b × q + r.
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Exemple : calculons PGCD(240; 84)
240 = 2 × 84 + 72
84 = 1 × 72 + 12
72 = 6 × 12 + 0
Le dernier reste non nul est 12, donc PGCD(240; 84) = 12.
SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES
La méthode par soustractions successives est assez simple, mais peut s’avérer très longue dans certains cas !
Exemple : calcul du pgcd(15 ; 21)
21 – 15 = 6 : entre 6, 15 et 21 les deux plus petits sont 15 et 6.
15 – 6 = 9
9 – 6 = 3
6 – 3 = 3
3 – 3 = 0
PGCD(15 ; 21) = 3
Remarque : évidemment on fait toujours le plus grand moins le plus petit, par exemple on fait 9 – 6 et non 6 – 9 pour ne pas avoir un résultat négatif…
Exemple : PGCD(30 , 105)
105 – 30 = 75
75 – 30 = 45
45 – 30 = 15
30 – 15 = 15
15 – 15 = 0
Le dernier résultat non nul est 15, donc PGCD(30 ;105) = 15.
PGCD(96 ; 100) :
100 – 96 = 4
96 – 4 = 92
92 – 4 = 88
88 – 4 = 84
84 – 4 = 80
80 – 4 = 76
76 – 4 = 
Tu l’auras compris, avant d’arriver à 0 on est pas sorti de l’auberge…
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS
Une autre technique pour calculer le PGCD de deux nombres est de les décomposer en facteurs premiers.
Mais qu’est-ce-qu’un facteur premier ?
C’est un diviseur qui est un nombre premier.
qu’est-ce-qu’un nombre premier ?
C’est un nombre qui n’est divisible que par 1 et lui-même.
Les nombres premiers les plus courants que tu rencontreras sont :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19
Exemple
72 :
72 = 2 × 36
72 = 2 × 2 × 18
72 = 2 × 2 × 2 × 9
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
72 = 23 × 32
Exemple : 260
260 = 2 × 130
260 = 2 × 2 × 65
260 = 2 × 2 × 5 × 13
260 = 2 2 × 5 × 13
exemple
450
450 = 10 × 45
450 = 2 × 5 × 9 × 5
450 = 2 × 5 × 3 × 3 × 5
450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5
450 = 2 × 32 × 52
garder UNIQUEMENT ce qu’il y a en commun dans chaque décomposition en facteurs premiers.
Exemple
260 = 22 × 51 × 131
450 = 21 × 32 × 52
(On a mis exprès les puissances 1, tu verras après pourquoi)
Dans chaque décomposition il y a 2 et 5, donc on garde
En revanche il n’y a pas de 13 dans 450, ni de 3 dans 260, donc on ne garde pas.
Mais quelle puissance de 2 et 5 garder ?
On garde la puissance la plus PETITE entre les deux décompositions.
Le PGCD est donc 21 × 51 = 10.
PGCD(260 ; 450) = 10.
Exemple : PGCD(1047816 ; 189917728)
1047816 = 23 × 35 × 72 × 111
189917728 = 25 × 73 × 113 × 131
Donc PGCD(1047816 ; 189917728) = 4312.
PPCM
Exemple : calculons le PPCM de 3 et 4.
On va faire la liste des multiples de 3 et des multiples de 4 :
3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 – 21 – 24 – 27 – 30 – 33 – 36 – 39 – 42 – 45 – 48 – 51 etc…
4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 – 40 – 44 – 48 – 52 etc…
Il s’agit alors de regarder les nombres communs, et de prendre le plus PETIT.
Ici il n’y a que 12, 24 et 48 en commun.
Le plus petit est 12 : c’est le PPCM !
Donc PPCM(3 ; 4) = 12.
Pour de plus grands nombres cela peut vite devenir compliqué…c’est là qu’intervient la décomposition en facteurs premiers !
Le principe est de décomposer chacun des deux nombres.
Ensuite, à l’inverse du PGCD, on prend TOUT ce qu’il y a dans chaque décomposition, même si ce n’est pas en commun !!
Petite précision : s’il y a des facteurs communs, on prend la PLUS GRANDE puissance et non la plus petite comme c’était le cas pour le PGCD.
Exemple :
260 = 22 × 51 × 131
450 = 21 × 32 × 52
Pour 2 on prend 22 (la plus grande puissance)
Pour 3 on prend 32 (qui est dans 450 mais pas dans 260)
Pour 5 on prend 52 (la plus grande puissance)
Pour 13 on prend 131 (qui est dans 260 mais pas dans 450)
Ce qui donne : 22 × 32 × 52 × 131 = 11700
Donc PPCM(260 ; 450) = 11700
SIMPLIFICATION DES FRACTIONS
Une des applications du PGCD est la simplification de fractions.
En effet, simplifier une fraction revient à trouver les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur. Et comme on veut simplifier la fraction au maximum, il faut trouver le plus grand diviseur commun, c’est-à-dire le PGCD !
Ainsi, pour simplifier une fraction, on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, et on factorise chacun par ce PGCD.
Exemple
PGCD(260 ; 450) = 10
Donc :
Exemple :
PGCD(30 ; 105) = 15. D’où :
NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Exemple
PGCD(260 ; 450) = 10, donc 260 et 450 ne sont pas premiers entre eux.
PGCD(4 ; 9) = 1, donc 4 et 9 sont premiers entre eux (et pourtant 4 et 9 ne sont pas premiers…)
ATTENTION !! Il n’existe pas de lien entre nombre premier et nombres premiers entre eux !!
7 est premier mais 7 n’est pas premier avec 21 (car PGCD(7 ; 21) = 7).
4 et 9 sont premiers entre eux (PGCD(4 ; 9) = 1) et pourtant 4 et 9 ne sont pas premiers.