THEOREME DE THALES

Théorème de Thalès

Théorème

Soit un triangle quelconque ABC. M est un point appartenant au segment [AB], N un point appartenant au segment [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles :
Alors d’après le théorème de Thalès :
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

Exemple  :

Soit un triangle ABC

tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm.

M est un point du segment [AB] tel que AM = 2 cm.

N est un point du segment [AC] tel que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC).

Combien mesure la longueur AN ?

Étant donné que dans le triangle ABC, les droites (MN) et (BC) sont parallèles, nous avons d’après le théorème de Thalès :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$ Nous connaissons AM, AB et AC et nous cherchons la longueur AN donc nous allons nous intéresser aux rapports des longueurs suivants :

$$\begin{array}{cc}& \frac{A\mathrm{M/}}{AB}=\frac{A\mathrm{N/}}{AC}\\ & \frac{\mathrm{2/}}{6}=\frac{A\mathrm{N/}}{9}\end{array}$$ Nous pouvons en déduire la longueur AN :
$$\begin{array}{cc}AN& =\frac{\mathrm{2/}}{6}\times 9\\ & =3\text{cm}\end{array}$$ AN mesure 3 cm.

Nouvelle configuration de Thalès

La nouvelle configuration à laquelle on s’intéresse en troisième est celle où la droite (MN) est située “en-dehors” du triangle ABC :

Les points M, A, B d’une part et N, A, C d’autre part sont alignés dans le même ordre.

De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Alors d’après le théorème de Thalès :
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

Exemple

Soit deux droites (MB) et (CN) sécantes en A. On donne AB = 10 cm,

AM = 5 cm et BC = 12 cm.

Combien mesure la longueur MN ?Étant donné que les points M, A, B d’une part et N, A, C d’autre part sont alignés, et que les droites (MN) et (BC) sont parallèles, nous avons d’après le théorème de Thalès :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$ Nous connaissons AB, AM et BC et nous cherchons la longueur MN donc nous allons nous intéresser aux rapports des longueurs suivants :

$$\begin{array}{cc}& \frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\\ & \frac{5}{10}=\frac{MN}{12}\end{array}$$ Nous pouvons en déduire la longueur MN :
$$\begin{array}{cc}MN& =\frac{5}{10}\times 12\\ & =6\text{cm}\end{array}$$ MN mesure 6 cm.

II) Réciproque du Théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Soit la figure suivante :

Exemple:

Dans la figure précédente, on donne : AB = 6 cm, AM = 8 cm, AC = 9 cm,

AN = 12 cm.

Les droites (MN) et (BC) sont elles parallèles ?

Les points M, A, B d’une part et N, A, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, nous avons :
$$\frac{A\mathrm{M/}}{AB}=\frac{\mathrm{8/}}{6}=\frac{\mathrm{4/}}{3}$$ Et :
$$\frac{A\mathrm{N/}}{AC}=\frac{\mathrm{12/}}{9}=\frac{\mathrm{4/}}{3}$$ Comme nous avons :
$$\frac{A\mathrm{M/}}{AB}=\frac{A\mathrm{N/}}{AC},$$ d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple :

Si les dimensions avaient été dans l’exemple précédent : AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm, AN = 7 cm. Les droites (MN) et (BC) sont elles parallèles ?
Nous avons :
$$\frac{A\mathrm{M/}}{AB}=\frac{\mathrm{6/}}{4}=1.5$$ Et :
$$\frac{A\mathrm{N/}}{AC}=\frac{\mathrm{7/}}{5}=1.4$$ Comme nous avons :
$$\frac{A\mathrm{M/}}{AB}\ne \frac{A\mathrm{N/}}{AC},$$