le carré de $a$ est tel que $a^{\mathrm{²}}=a\times a$

II) Racine carrée d’un nombre positif

est le nombre positif noté $\sqrt{a}$ dont le carré est égal à $a$. $\sqrt{a}$ se lit « racine carrée de $a$ ». On appelle radical le symbole suivant :

On ne peut pas écrire $\sqrt{-3}$

Exemple :
$\sqrt{49}=7$ car $7^{\mathrm{²}}=49$ et $7$ est un nombre positif.

$-7$ n’est pas valable : son carré vaut 49 mais $-7$ est négatif.

. La racine carrée de $1156$ est un entier donc $1156$ est un carré parfait.

$\sqrt{3}\approx 1.73$. La racine carrée de 3 n’est pas un nombre entier donc 3 n’est pas un carré parfait.
Il est utile d’apprendre par cœur les premiers carrés parfaits à savoir :
$0,1,4,9,16$ $,25,36,49,64$ $,81,100,121,144$ $,169,196$ et $225$

B) Propriétés

, $\sqrt{a^{\mathrm{²}}}=a$ et $(\sqrt{a}{)}^{\mathrm{²}}=a$

$(\sqrt{14}{)}^{\mathrm{²}}=14$

 

III) Produit et quotient de racines carrées

A) Produit de racines carrées

 

Exemple :
Écrire les nombres $\sqrt{80}$ et $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers positifs, $b$ étant le plus petit possible.

Méthode :
1) Sous la racine, on fait apparaître le produit du plus grand carré parfait possible par un entier.

2) On décompose ensuite la racine carrée en appliquant les propriétés précédentes.

Écrivons $\sqrt{80}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ :
$\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}$ ($16=4^{\mathrm{²}}$ est le plus grand carré parfait possible).
$\sqrt{80}=\sqrt{16}\times$$\sqrt{5}$ (on applique la propriété $\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}\times$$\sqrt{b}$)
$\sqrt{80}=4\times \sqrt{5}$
$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

Écrivons à présent $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ :
$\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}$ ($25=5^2$ est le plus grand carré parfait possible).
$\sqrt{75}=\sqrt{25}\times \sqrt{3}$ (on applique la propriété $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$)
$\sqrt{75}=5\times \sqrt{3}$
$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$

 

B) Quotient de racines carrées

Exemple :
Écrire$\sqrt{\frac{36}{5}}$ sous forme d’un quotient sans radical au dénominateur.
Méthode :
1) On utilise la propriété précédente de manière à écrire la racine du quotient en un quotient de racines :
$\sqrt{\frac{\mathrm{36/}}{5}}$

$=\frac{\sqrt{\mathrm{36/}}}{\sqrt{5}}$

$=\frac{6}{\sqrt{5}}$

2) On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{5}$ puis on applique les propriétés de la racine carrée.
$\frac{6}{\sqrt{5}}$

$=\frac{6\times \sqrt{\mathrm{5/}}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$

$=\frac{6\sqrt{\mathrm{5/}}}{(\sqrt{5}{)}^2}$

$=\frac{6\sqrt{\mathrm{5/}}}{5}$

IV) Équation de la forme $x^{\mathrm{²}}=a$

, alors l’équation $x^{\mathrm{²}}=a$ admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

– Si $a=0$,

alors l’équation $x^{\mathrm{²}}=a$ admet une unique solution : 0.

– Si $a<0$,

alors l’équation $x^2=\mathrm{a\; n’admet\; pas\; de\; solution.}$

Exemple :
5 > 0 donc l’équation $x^{\mathrm{²}}=5$ admet deux solutions : $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$.
-8 < 0 donc l’équation $x^{\mathrm{²}}=-8$ n’admet aucune solution.
49 > 0 donc l’équation $x^{\mathrm{²}}=49$ admet deux solutions : $\sqrt{49}=7$ et $-\sqrt{49}=-7$.

V) Applications numérique

Exemple distributivité :

$$\begin{array}{c}\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\end{array}$$

$$\begin{array}{c}=\sqrt{2}\times \sqrt{3}+\sqrt{2}\times \sqrt{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \sqrt{2\times 3}+\sqrt{2\times 2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\sqrt{6}+\sqrt{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =2+\sqrt{6}\end{array}$$
Exemple factorisation :
$$\begin{array}{c}\sqrt{50}-\sqrt{32}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}=\sqrt{25\times 2}-\sqrt{16\times 2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\sqrt{25}\times \sqrt{2}-\sqrt{16}\times \sqrt{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =5\sqrt{2}-4\sqrt{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\sqrt{2}(5-4)\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =\sqrt{2}\end{array}$$
Exemples avec identités remarquables :

$$\begin{array}{c}\\ A& =(3+\sqrt{2}{)}^{\mathrm{²}}\\ & =3^{\mathrm{²}}+2\times 3\times \sqrt{2}+\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\sqrt{2}{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{c}(\sqrt{}{}^{}\\ & =9+6\sqrt{2}+2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =11+6\sqrt{2.}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \\ B& =(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})\\ & =(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =3-5\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =-2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& \\ C& =(\sqrt{8}-\sqrt{2}{)}^2\\ & =(\sqrt{8}{)}^2-2\times \sqrt{8}\times \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =8-8+2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& =2\end{array}$$

VI) Applications géométriques

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que $AB=a$.
Déterminer la longueur BC.

$AB=AC=a$
ABC est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
$$\begin{array}{cc}& A{B}^{\mathrm{²}}+A{C}^{\mathrm{²}}=B{C}^{\mathrm{²}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& B{C}^{\mathrm{²}}=a^{\mathrm{²}}+a^{\mathrm{²}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& B{C}^{\mathrm{²}}=2a^{\mathrm{²}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& BC=\sqrt{2a^{\mathrm{²}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& BC=\sqrt{2}\times \sqrt{a^{\mathrm{²}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& BC=\sqrt{2}\times a\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& BC=a\sqrt{2}\end{array}$$ L’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle vaut $a\sqrt{2}$