$$ax+by=c$$

Exemple $x+2y=5$
Le couple (1 ; 2) est solution de cette équation car

1 + 2 × 2 = 1 + 4 = 5.

Le couple (2 ; 1,5) est également solution de cette équation car

2 + 2 × 1,5 = 2 + 3 = 5

Par contre, le couple (0 ; 3) n’est pas solution de cette équation.

En effet : 0 + 2 × 3 = 6 ≠ 5.

B) Systèmes de deux équations à deux inconnues

Exemple
$$\{\begin{array}{c}x+2y=5\\ \mathrm{;\; 3}x-y=0\end{array}$$

$\left(1\text{;}2\right)$ est-il solution de ce système ?

1^ère  équation : 1 + 2 × 2 = 5          OK
2^ème équation : 3 × 1 – 2 = 1 ≠ 0     Non vérifiée

Comme le couple $\left(1\text{;}2\right)$ ne vérifie pas les deux égalités (il ne vérifie que la première), il n’est pas solution du système.

II) Résolution des systèmes

Les cinq étapes qui sont présentées ci-dessous peuvent se généraliser à n’importe quel autre système.

1) On prend une des deux équations et on exprime une inconnue en fonction de l’autre.
exprimons par exemple $x$ en fonction de $y$.
$$\begin{array}{cc}& x+y=\mathrm{2 \; alors}\\ & x=2-y\end{array}$$

2) Remplaçons maintenant $x$ dans la deuxième équation par le résultat obtenu à l’étape précédente, c’est-à-dire par $2-y$.

On conserve une des deux équations de départ.
$$\{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ 3(2-y)+4y=7\end{array}$$

3) La deuxième équation n’a plus qu’une seule inconnue. Nous pouvons à présent déterminer la valeur de $y$.

$$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ 6-3y+4y=7\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ 6+y=7\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ y=7-6\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ y=1\end{array}\end{array}$$

4) Maintenant que nous connaissons la valeur de $y$, remplaçons $y$ dans la première équation par 1 pour déterminer la valeur de $x$.

$$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}x+1=\mathrm{2\; ;}\\ y=1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=2-\mathrm{1\; ;}\\ y=1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ y=1\end{array}\end{array}$$

5) On conclut : ce système admet un unique couple solution : (1 ; 1).

Facultatif (mais utile !) : on vérifie si les valeurs de $x$ et $y$ trouvées sont les bonnes.
Lorsque $x=1$ et $y=1$ :
$x+y=1+1=2\to \text{OK}$
$3x+4y=3\times 1+4\times 1=3+4=7\to \text{OK}$

Notre couple solution est donc juste.
Pour noter le couple solution, on écrit la valeur de  en premier et celle de y en second.

B) Méthode de combinaison (ou élimination)

Résolvons le même système que dans le A) en utilisant la méthode de combinaison, également appelée méthode d’élimination.

$$\{\begin{array}{c}x+y=\mathrm{2\; ;}\\ 3x+4y=7\end{array}$$

Les cinq étapes qui sont présentées ci-dessous peuvent se généraliser à n’importe quel autre système.

1) Multiplions les deux membres de la première équation par 4 pour obtenir le même nombre de $y$ que dans la seconde équation.

$$\{\begin{array}{c}4x+4y=\mathrm{8\; ;}\\ 3x+4y=7\end{array}$$

2) Soustrayons les deux équations membre à membre ce qui permet d’éliminer les termes en $y$.

$$\{\begin{array}{c}4x+4y-(3x+4y)=8-\mathrm{7\; ;}\end{array}$$$$\begin{array}{c}3x+4y=7\end{array}$$

3) Simplifions la première équation et déterminons la valeur de $x$ :
$$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}4x+4y-3x-4y=8-\mathrm{7\; ;}\\ 3x+4y=7\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ 3x+4y=7\end{array}\end{array}$$

4) Maintenant que nous connaissons la valeur de $x$, remplaçons $x$ dans la deuxième équation par 1 pour déterminer la valeur de $y$.

$$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ 3\times 1+4y=7\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ 3+4y=7\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ 4y=7-3\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ 4y=4\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\\ & \{\begin{array}{c}x=\mathrm{1\; ;}\\ y=1\end{array}\end{array}$$

Généralement, c’est la méthode de combinaison qui est la plus performante